36th BCS

প্রথমে ৫ বা তার কম মৌলিক সংখ্যাগুলো চিহ্নিত করি যা হলো A = {2, 3, 5}, অর্থাৎ এখানে উপাদান সংখ্যা n = 3। কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে তার পাওয়ার সেটের বা শক্তি সেটের সদস্য সংখ্যা বের করার সূত্র হলো 2ⁿ। সুতরাং, P(A) এর সদস্য সংখ্যা হবে 2³ = 8।

যেহেতু ২টি পুস্তক সবসময় অন্তর্ভুক্ত থাকবে, তাই বাকি থাকে (১২ - ২) = ১০টি পুস্তক এবং বাছাই করতে হবে আরও (৫ - ২) = ৩টি পুস্তক। এখন ১০টি থেকে ৩টি পুস্তক বাছাইয়ের উপায় হবে 10C3, যার মান হিসাব করলে পাওয়া যায় ১২০। এটি কম্বিনেশনের একটি চমৎকার ও পরীক্ষামুখী সমস্যা।

এক সপ্তাহে মোট ৭ দিনের মধ্যে ৫ দিন বৃষ্টি হয়েছে, তাই বুধবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা P(W) = 5/7। কোনো ঘটনার না ঘটার সম্ভাবনা হলো (১ - ঘটার সম্ভাবনা)। সুতরাং, বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা হবে 1 - (5/7) = 2/7।

প্রথমে ৩ কেজি মিষ্টির মোট মূল্য বের করতে হবে যা ৩ × ৩৫০ = ১০৫০ টাকা। এখন ১০০ টাকায় ভ্যাট ৪ টাকা হলে, ১০৫০ টাকার ওপর ৪% হারে ভ্যাট আসে (৪ × ১০৫০) ÷ ১০০ = ৪২ টাকা। বিসিএস প্রিলিমিনারিতে শতকরা হিসাবের এমন প্রশ্ন প্রায়ই দেখা যায়।

তেলের মূল্য ২৫% বৃদ্ধিতে ১০০ টাকার তেল এখন ১২৫ টাকায় কিনতে হয়, তাই খরচ অপরিবর্তিত রাখতে ১২৫ টাকার তেলের ব্যবহার কমাতে হবে ২৫ টাকা। সুতরাং, ১০০ টাকায় ব্যবহারের পরিমাণ কমাতে হবে (২৫ × ১০০) ÷ ১২৫ = ২০ শতাংশ। শতকরা বৃদ্ধির ক্ষেত্রে এই শর্টকাট সূত্রটি সময় বাঁচাতে দারুণ কার্যকরী।

আমরা জানি যে, দুটি সংখ্যার গুণফল তাদের লসাগু এবং গসাগু-এর গুণফলের সমান। সূত্র অনুযায়ী, লসাগু = (সংখ্যা দুটির গুণফল ÷ গসাগু), যা এখানে ৩৩৮০ কে ১৩ দ্বারা ভাগ করলে ২৬০ পাওয়া যায়। বিসিএস গাণিতিক যুক্তিতে এই সূত্রটি থেকে প্রায়ই সরাসরি প্রশ্ন আসে।

ত্রিভুজ ABC-এর বহিঃস্থ কোণ এবং সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ধর্ম ব্যবহার করে কোণগুলোর সমষ্টি ১৮০° ধরে হিসাব করতে হয়। বৃত্তস্থ জ্যামিতির এই নিয়م অনুযায়ী সমাধান করলে x এর মান সুনির্দিষ্টভাবে ৩৪° পাওয়া যায়। জ্যামিতির চিত্রভিত্তিক সমস্যাগুলো সমাধানের জন্য প্রমেয়গুলো ভালোভাবে আয়ত্ত করা জরুরি।

এটি একটি সমান্তর ধারা যার প্রথম পদ ১ এবং শেষ পদ (2x - 1)। সূত্র প্রয়োগ করে মোট পদের সংখ্যা x পাওয়া যায় এবং সমীকريর মাধ্যমে ধারাটির সমষ্টি দাঁড়ায় x²। সমান্তর ধারার যোগফলের এই স্ট্যান্ডার্ড ফলাফলটি সরাসরি মনে রাখলে পরীক্ষার হলে দ্রুত উত্তর করা যায়।

লগারিদম এর ভিত্তি ও সংখ্যা সমান করার নিয়মে log(√3) থেকে 81 কে (√3)⁸ আকারে লেখা যায়। লগারিদমের পাওয়ার সামনে চলে আসলে এবং logₐa = 1 হওয়ার কারণে এর চূড়ান্ত মান হয় ৮। সূচক ও লগ এর এই ধরনের ভিত্তি মেলানোর কৌশল বিসিএস এর জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

উভয় পাশের সূচকীয় সমীকরণের ভিত্তি সমান করতে বামপক্ষের ২৫ কে ৫² আকারে লেখা হয়েছে, ফলে পাওয়ার দুটি গুণ হয়ে (4x + 6) হয়। উভয় পক্ষ থেকে ভিত্তি ৫ বাদ দিলে সমীকরণটি দাঁড়ায় 4x + 6 = 3x + 6, যার সমাধান করলে x = 0 পাওয়া যায়। সূচকের সমীকরণ সমাধানের ক্ষেত্রে উভয় পাশের ভিত্তি এক করা হলো প্রথম ধাপ।

সঠিক উত্তর হলো '16'। আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য a হলে, কর্ণের দৈর্ঘ্য \(\mathrm{\sqrt{2}a}\) ∴ \(\mathrm{\sqrt{2}}\) a \(\mathrm{=4\sqrt{2}}\) ⇒ a \(\mathrm{=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=4}\) একক \(\mathrm{∴}\) বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, a \(\mathrm{=4}\) \(\mathrm{∴}\) বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(\mathrm{{a}^{2}={4}^{2}=}\) 16 বর্গ একক

সঠিক উত্তর হলো 'সমদ্বিবাহু'। \(\mathrm{∆ABC}\) এ \(\mathrm{∠A+∠B+∠C=180°}\) [ত্রিভুজের তিনকোণের সমষ্টি ১৮০ \(\mathrm{°}\) ] \(\mathrm{⇒40°+70°+∠C=180°}\) \(\mathrm{⇒∠C=180°-110°}\) \(\mathrm{∴∠C=70°}\) \(\mathrm{∆ABC}\) এর \(\mathrm{∠B=∠C}\) \(\mathrm{∴∆ABC}\) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

সঠিক উত্তর হলো '(11, 8)'। \(\mathrm{{x}^{2}+{y}^{2}=185………}\) \(\mathrm{(i)}\) \(\mathrm{x-y=3……………}\) \(\mathrm{\left(ii\right)}\) \(\mathrm{(i)}\) নং হতে পাই, \(\mathrm{{x}^{2}+{y}^{2}=185}\) \(\mathrm{⇒{\left(x-y\right)}^{2}+2xy=185}\) \(\mathrm{⇒{\left(3\right)}^{2}+2xy=185}\) \(\mathrm{⇒2xy=185-9}\) \(\mathrm{⇒2xy=176}\) \(\mathrm{∴xy=88}\) আবার, \(\mathrm{{\left(x+y\right)}^{2}={\left(x-y\right)}^{2}+4xy ={3}^{2}+4.88}\) \(\mathrm{=9+352}\) \(\mathrm{⇒}\) \(\mathrm{{\left(x+y\right)}^{2}=361}\) \(\mathrm{∴x+y=19………(iii)}\) \(\mathrm{(i)}\) + \(\mathrm{(ii)}\) করে পাই, \(\mathrm{2x=22}\) \(\mathrm{∴x=11}\) \(\mathrm{(iii)}\) এ \(\mathrm{x=11}\) বসাই, \(\mathrm{11+y=19}\) \(\mathrm{∴y=8}\) \(\mathrm{∴\left(x,y\right)=(11, 8)}\)

সঠিক উত্তর হলো 'a - 1'। \(\mathrm{a-[a-\left\{a-\left(a- a-1 \right)\right\}]}\) \(\mathrm{=a-[a-\left\{a-\left(a-a+1\right)\right\}]}\) \(\mathrm{=a-[a-\left\{a-1\right\}]}\) \(\mathrm{=a-[a-a+1]}\) \(\mathrm{=a-1}\)

সঠিক উত্তর হলো '4'। আমরা জানি, \(\mathrm{{x}^{3}-\frac{1}{{x}^{3}}={\left(x-\frac{1}{x} \right)}^{3}+3.x.\frac{1}{x}\left(x-\frac{1}{x}\right)}\) \(\mathrm{={\left(1\right)}^{3}+3.1}\) \(\mathrm{=1+3}\) \(\mathrm{=4}\)