18th BCS

ধরি সংখ্যাটি ‘ক’। প্রশ্নানুযায়ী, ৩ক + ২ক = ৯০, অর্থাৎ ৫ক = ৯০, যার মান দাঁড়ায় ক = ১৮। বিসিএসের গাণিতিক অংশে এমন সহজ সমীকরণভিত্তিক সমস্যা খুব কম সময়ে সমাধান করার জন্য সরাসরি বীজগণিতিক রূপ দিতে হয়।

প্রথম ৫টি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ৫৬০ হলে, সমীকরণ সাজিয়ে প্রথম সংখ্যাটি পাওয়া যায় ১১০। এরপর শেষ ৫টি সংখ্যার সমষ্টি বের করতে সাধারণ সূত্র বা পাটিগণিতের অনুক্রম ব্যবহার করে খুব সহজেই ৫৮৫ উত্তরটি পেয়ে যাবেন।

ভগ্নাংশের ছোট-বড় নির্ণয়ের সবচেয়ে সহজ উপায় হলো আর গুণন (Cross multiplication) করা। ২/৩ এবং ৮/১১ এর মধ্যে তুলনা করলে (২×১১ = ২২) এবং (৩×৮ = ২৪), যেহেতু ২৪ বড় তাই ৮/১১ ভগ্নাংশটিই বড়।

১২ থেকে ৯৬ পর্যন্ত ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর ক্ষেত্রে সমান্তর ধারার পদসংখ্যার সূত্র ব্যবহার করতে হবে: [(শেষ পদ - প্রথম পদ) ÷ সাধারণ অন্তর] + ১। মানগুলো বসালে [(৯৬ - ১২) ÷ ৪] + ১ = ২২ টি সংখ্যা পাওয়া যায়।

প্রথমে ৬, ৮ ও ১০ এর গড় বের করতে হবে, যা হলো ২৪ ÷ ৩ = ৮। এখন ৭, ৯ এবং অজানা সংখ্যা x এর গড়ও ৮ হতে হলে তাদের সমষ্টি হতে হবে ৮ × ৩ = ২৪, যার ফলে x এর মান অনায়াসেই ৮ পাওয়া যায়।

এখানে প্রশ্নানুসারে দুটি সমীকরণ দেওয়া আছে: \({\mathrm{x+5y=16}}\) এবং \({\mathrm{x = 3y}}\)। প্রথম সমীকরণে \({\mathrm{x}}\)-এর মান বসিয়ে পাই \({\mathrm{3y + 5y = 16}}\|), অর্থাৎ \({\mathrm{8y = 16}}\|), যা সমাধান করলে \({\mathrm{y = 2}}\) পাওয়া যায়। বিসিএস পরীক্ষায় বীজগণিতের এই ধরনের প্রতিস্থাপন পদ্ধতি খুব দ্রুত উত্তর বের করতে দারুণ সাহায্য করে।

শর্ত অনুযায়ী দুটি সমীকরণ গঠন করে অপনয়ন বা প্রতিস্থাপন পদ্ধতির মাধ্যমে সহজেই সমাধানটি করা যায়। সমীকরণ দুটি হলো: \({\mathrm{\frac{ক}{2}+\frac{খ}{3}=45}}\) এবং \({\mathrm{\frac{ক}{5}+\frac{খ}{2}=40}}\)। এগুলো সমাধান করলে ক = ৫০ এবং খ = ৬০ পাওয়া যায়।

যে মেশিনগুলোর সময় কম লাগে, মূলত তাদের কর্মক্ষমতা বা কাজের গতি সবচেয়ে বেশি হয়। এখানে প্রথম দুটি মেশিন যথাক্রমে ৪ ও ৫ ঘণ্টায় কাজটি করতে পারে, তাই তাদের ১ ঘণ্টার কাজের পরিমাণ হবে যথাক্রমে \({\mathrm{\frac{1}{4}}}\) ও \({\mathrm{\frac{1}{5}}}\) অংশ। দুটি মেশিনের একত্রে ১ ঘণ্টার কাজের যোগফল হলো \({\mathrm{\frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{9}{20}}}\) অংশ। বিসিএস পরীক্ষায় কাজের অংক দ্রুত সমাধানের জন্য একক সময়ে কাজের পরিমাণ বের করার এই কনসেপ্টটি অত্যন্ত উপযোগী।

পরীক্ষায় ৩০% পাস করলে ফেল করে মোট \({\mathrm{100\% - 30\% = 70\%}}\) শিক্ষার্থী। অন্যদিকে ফেল করা শিক্ষার্থীদের মোট সংখ্যা হলো \({\mathrm{12 + 30 = 42}}\) জন। সুতরাং, \({\mathrm{70\%}}\) মানেই যদি \({\mathrm{42}}\) জন হয়, তবে ঐকিক নিয়মে \({\mathrm{100\%}}\) বা মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা হবে \({\mathrm{60}}\) জন।

প্রতিটি চেয়ার ৩০০০ টাকায় বিক্রি করায় একটিতে ২০% লাভে ক্রয়মূল্য দাঁড়ায় \({\mathrm{3000}}\) টাকা এবং অন্যটিতে ২০% লোকসানে ক্রয়মূল্য দাঁড়ায় \({\mathrm{4500}}\) টাকা। দুটি চেয়ারের মোট ক্রয়মূল্য \({\mathrm{7500}}\) টাকা এবং মোট বিক্রয়মূল্য \({\mathrm{3600 \times 2 = 7200}}\) টাকা। ফলে সব মিলিয়ে \({\mathrm{7500 - 7200 = 300}}\) টাকা লোকসান হয়।

পাইপ দুটি দিয়ে ১ ঘণ্টায় চৌবাচ্চাটির ভর্তি হয় যথাক্রমে \({\mathrm{\frac{1}{5}}}\) ও \({\mathrm{\frac{1}{3}}}\) অংশ, অর্থাৎ একত্রে ১ ঘণ্টায় ভর্তি হয় \({\mathrm{\frac{8}{15}}\) অংশ। এখন সম্পূর্ণ চৌবাচ্চার \({\mathrm{\frac{2}{3}}\) অংশ ভরতে সময় লাগবে \({\mathrm{\frac{2}{3} \div \frac{8}{15} = \frac{5}{4}}\) ঘণ্টা। চৌবাচ্চার অংকে পাইপের কর্মক্ষমতা যোগ করার এই নিয়মটি খুবই জনপ্রিয়।

ধরি, রহিম \({\mathrm{x}}\) ঘণ্টা হাঁটার পর দেখা হয়, যেখানে সে মোট \({\mathrm{4x}}\) মাইল পথ অতিক্রম করে। একই সময়ে করিম \({\mathrm{(x + 1)}}\) ঘণ্টায় \({\mathrm{3(x + 1)}}\) মাইল হাঁটে এবং দুজনের মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব \({\mathrm{45}}\) মাইল। সমীকরণটি সমাধান করে \({\mathrm{x = 6}}\) পাওয়া যায়, যার ফলে রহিমের হাঁটা দূরত্ব দাঁড়ায় \({\mathrm{4 \times 6 = 24}}\) মাইল।

৫৬ ফুট ব্যাসের বৃত্তের ব্যাসার্ধ \({\mathrm{r = 28}}\) ফুট, যার ক্ষেত্রফল \({\mathrm{\pi r^2 = \frac{22}{7} \times 28 \times 28 = 2464}}\) বর্গফুট। শর্তমতে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলও \({\mathrm{2464}}\) বর্গফুট হবে, তাই এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য \({\mathrm{\sqrt{2464} \approx 49.6}}\) ফুট। ক্ষেত্রফল সমানকরণের এই ধরনের জ্যামিতিক সমস্যায় সূত্রগুলো নির্ভুলভাবে প্রয়োগ করা জরুরি।

এখানে বাড়ির দেওয়াল লম্ব \({\mathrm{(40 \text{ ফুট})}}\) এবং দেওয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব ভূমি \({\mathrm{(9 \text{ ফুট})}}\) হিসেবে সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত হয়। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী মইয়ের দৈর্ঘ্য তথা অতিভুজ \({\mathrm{= \sqrt{40^2 + 9^2} = \sqrt{1600 + 81} = \sqrt{1681} = 41}}\) ফুট। বিসিএস গাণিতিক যুক্তিতে পিথাগোরাসের ট্রিপलेट বা সূত্র ব্যবহার করে এ ধরনের মান খুব দ্রুত বের করা যায়।

১ থেকে n পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয়ের সূত্রটি হলো \({\mathrm{\frac{n(n+1)}{2}}}\)। এখানে \({\mathrm{n = 100}}\) বসালে পাই \({\mathrm{\frac{100 \times 101}{2} = 50 \times 101 = 5050}}\)।