32nd BCS — প্রশ্নব্যাংক ও এক্সাম সেন্টার
এখানে 32nd BCS-এর সকল বিষয়ের প্রশ্ন গুছিয়ে দেওয়া হয়েছে। আপনি চাইলে বিষয় ধরে পড়তে পারবেন অথবা যেকোনো কয়েকটি বিষয় বেছে নিয়ে তাৎক্ষণিক পরীক্ষা দিতে পারবেন।
বিষয় নির্বাচন করুন (Filter by Subject):
6টি বিষয়দুটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল সর্বদা একটি জোড় সংখ্যা হয়; যেমন- ১ ও ১ যোগ করলে ২ হয়, যা জোড়। BCS প্রিলিমিনারিতে এমন মান ধরে বা সংখ্যা পদ্ধতি (Number System) প্রয়োগ করে খুব দ্রুত সঠিক উত্তর বের করা যায়।
বৃত্তের ব্যাস বর্গক্ষেত্রের কর্ণের সমান, তাই √(2)a = 2r সূত্র ব্যবহার করে বাহুর দৈর্ঘ্য বের করতে হয়। বাহু পেলে ক্ষেত্রফল a² = (14/√2)² = ৯৮ বর্গ সে.মি. পাওয়া যায়। জ্যামিতির এই শর্টকাটটি নিয়মিত অনুশীলনে BCS-এ সহজেই কমন পাওয়া যায়।
যেকোনো বহুভুজ বা ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি সর্বদা ৩৬০° হয়ে থাকে। ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০° এই তথ্যটি কাজে লাগিয়ে খুব সহজেই এই জ্যামিতিক প্রমাণটি করা যায়।
ধারাটি হলো একটি ট্র্যাঙ্গুলার বা ত্রিভুজ সংখ্যা ধারা, যার পরবর্তী পদগুলোতে ব্যবধান যথাক্রমে ২, ৩, ৪ এভাবে বাড়তে থাকে। এর দশম পদ নির্ণয়ের জন্য স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফলের সূত্র n(n+1)/2 ব্যবহার করলে সরাসরি ৫৫ পাওয়া যায়।
লভ ও হরকে (√6 - 2) দ্বারা গুণ করে হরের করণী নিরসন (Rationalization) করলে মান দাঁড়ায় √3 - √2। সূচক ও লগারিদমের এই ধরনের গাণিতিক সমস্যা BCS পরীক্ষায় প্রায়ই আসে, তাই হর ও লবের অনুবন্ধী রাশি দিয়ে গুণ করার নিয়মটি ভালো করে আয়ত্ত করুন।
রাশিটিকে সাজিয়ে লিখলে পাই (x² - 8x + 16) + (y² - 8y) অর্থাৎ (x - 4)² + (y - 4)² - 16। এটিকে পূর্ণবর্গ রূপ দিতে হলে অতিরিক্ত 2xy যোগ করতে হয়। বীজগণিতীয় রাশির পূর্ণবর্গ সংক্রান্ত এই ট্রিকটি মান নির্ণয়ের জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
১টি লেবুর ক্রয়মূল্য ১/৩ টাকা এবং বিক্রয়মূল্য ১/২ টাকা হলে, লাভ হয় (১/২ - ১/৩) বা ১/৬ টাকা। ক্রয়মূল্যের ওপর হিসাব করলে শতকরা লাভ দাঁড়ায় ৫০%। শতকরা ও লাভ-ক্ষতির অংকে পণ্যের একক দাম বের করে নেওয়া সবচেয়ে নিরাপদ পদ্ধতি।
বৃত্তের ব্যাস ৩ গুণ বৃদ্ধি পেলে এর ব্যাসার্ধও ৩ গুণ বৃদ্ধি পাবে। ক্ষেত্রফলের সূত্র πr² অনুযায়ী ব্যাসার্ধের ওপর স্কয়ার থাকায় ক্ষেত্রফল ৩² বা ৯ গুণ বৃদ্ধি পাবে। পরিমিতির এই শর্টকাট নিয়মটি BCS-এর সময় বাঁচাতে দারুণ কার্যকরী।
চাকাটি ৬০ সেকেন্ডে ঘোরে ৯০ বার, সুতরাং ১ সেকেন্ডে ঘোরে (৯০/৬০) বা ৩/২ বার। ১ বার ঘোরা মানে ৩৬০° আবর্তন করা, তাই ৩/২ বার ঘুরলে কোণ উৎপন্ন হয় ৩৬০° × (৩/২) = ৫৪০°। বৃত্তীয় গতি সম্পর্কিত এই অংকগুলোতে একক রূপান্তরের সময় খুব সতর্ক থাকতে হয়।
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল, কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান এবং একটি কোণ সমকোণ, তা একটি আয়তক্ষেত্র। জ্যামিতির এই মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলো জানা থাকলে BCS-এ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত প্রশ্নগুলো সেকেন্ডেই সমাধান করা সম্ভব।
ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি ছোট তা বের করতে বজ্রগুণন (Cross Multiplication) পদ্ধতি ব্যবহার করুন অথবা হরগুলোর লসাগু নিয়ে তুলনা করুন। এখানে ১১/১৪ ভগ্নাংশটির মান সবচেয়ে কম আসে। বিসিএস প্রিলিমিনারিতে সময় বাঁচাতে এই শর্টকাট ক্রস-মাল্টিপ্লিকেশন পদ্ধতি দারুণ কার্যকরী!
পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে, সংখ্যাগুলো বের করতে ১২০-এর কাছাকাছি পূর্ণসংখ্যার ঘনমূল বা উৎপাদক চিন্তা করুন। সংখ্যা তিনটি হলো ৪, ৫ ও ৬ (কারণ ৪ × ৫ × ৬ = ১২০), যাদের যোগফল ৪ + ৫ + ৬ = ১৫। বিসিএসে এ ধরনের মানানসই সংখ্যা ধরে মুখে মুখেই উত্তর বের করা যায়।
পৌণিক (Recurring) দশমিককে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে লবে সম্পূর্ণ সংখ্যা থেকে পৌণিক ছাড়া অংশ বিয়োগ করতে হয় এবং হরে যতটি অঙ্কের উপর পৌণিক আছে ততটি ৯ এবং যতটির উপর নেই ততটি ০ বসাতে হয়। সে অনুযায়ী, ০.৪৭̇ = (৪৭ - ৪) / ৯০ = ৪৩/৯০। এটি নবম-দশম শ্রেণির সাধারণ গণিতের সূচক ও লগারিদম বা বাস্তব সংখ্যা অধ্যায়ের একটি অত্যন্ত কমন প্রশ্ন।
রাশিটিকে সাজালে পাই: x² - (y² - 2y + 1) = x² - (y - 1)²। এটি এখন a² - সূত্র বা (x + y - 1)(x - y + 1)-এ ভেঙে যায়, যার একটি উৎপাদক হলো (x + y - 1)। বিসিএস পরীক্ষায় বীজগণিতীয় রাশির উৎপাদক বিশ্লেষণে এমন সূত্র সাজানোর কৌশলগুলো খুবই কাজে লাগে।
লগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী, \(\mathrm{log_2 8 = log_2 (2^3)}\), যা থেকে ৩ কে সামনে এনে লেখা যায় \(\mathrm{3 \log_2 2}\)। যেহেতু \(\mathrm{\log_2 2 = 1}\), তাই এর মান দাঁড়ায় ৩ × ১ = ৩। লগারিদমের এই বেসিক প্রোপার্টিগুলো বিসিএস গাণিতিক যুক্তির জন্য মাস্ট-নট-মিস!
প্রথম রাশি থেকে \(\mathrm{x^2(x+y)}\) এবং দ্বিতীয় রাশি থেকে \(\mathrm{xy(x+y)}\) উৎপাদকগুলো পাওয়া যায়। লসাগু (LCM) নির্ণয়ের সময় কমন ও আনকমন সব পদের সর্বোচ্চ ঘাত নিতে হয়, যা হিসাব করলে নির্ণেয় লসাগু হয় \(\mathrm{x^2y(x+y)}\)। বিসিএস পরীক্ষায় বীজগণিতের লসাগু-গসাগু থেকে প্রায়ই এমন প্রশ্ন সেট করা হয়।
ধরি প্রস্থ x, তাহলে দৈর্ঘ্য (x + ৪) মিটার; সূত্রানুযায়ী পরিসীমা ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ৩২, যা সমাধান করলে x-এর মান পাওয়া যায় এবং দৈর্ঘ্য হয় ১০ মিটার। বাস্তব জীবনের পরিমাপ সংক্রান্ত এই ধরনের জ্যামিতিক সমস্যা বিসিএস প্রিলির মানসিক দক্ষতা ও গণিত উভয় অংশের জন্যই গুরুত্বপূর্ণ।
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য বৃদ্ধির ফলে ক্ষেত্রফলের পরিবর্তনের সূত্র ব্যবহার করে সমীকরণ গঠন করলে বাহুর সঠিক দৈর্ঘ্য পাওয়া যায়। এই নিয়মের গাণিতিক সমস্যাগুলো বিসিএস লিখিত ও প্রিলি উভয় পরীক্ষার জন্যই অত্যন্ত জনপ্রিয়।
বীজগণিতের অনুসিদ্ধান্ত \(\mathrm{a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)}\)-এ মানগুলো বসিয়ে দিলেই সরাসরি উত্তর চলে আসে। এখানে \(\mathrm{7^3 + 3(7) = 343 + 21 = 364}\)। বিসিএসে মান নির্ণয়ের শর্টকাট ফর্মুলা আয়ত্ত রাখলে সেকেন্ডের মধ্যে উত্তর মেলানো সম্ভব।
সেটের শর্তগুলো হলো x-এর বর্গ ৮ এর বড় এবং ঘন ৩০ এর ছোট হতে হবে। স্বাভাবিক সংখ্যা n-এর ক্ষেত্রে x = ৩ বসালে শর্ত দুটি পূর্ণ হয় (৩² = ৯ > ৮ এবং ৩³ = ২৭ < ৩০), তাই সঠিক উত্তর ৩। সেট তত্ত্বের এই ক্যাটাগরির প্রশ্নগুলো বিসিএসে প্রায়ই বুদ্ধিমত্তা যাচাইয়ের জন্য দেওয়া হয়।
🎯 বিষয় বেছে পরীক্ষা দিন
পছন্দমতো ২/৩টি বিষয় সিলেক্ট করে কাস্টম টেস্ট শুরু করুন